यूपीएससी/आईएएस/सीएसई-सिविल सेवा गणित वैकल्पिक पाठ्यक्रम पेपर-1 2022-2023
खंड-A
1. रैखिक बीजगणित:
R एवं C सदिश समष्टियाँ, रैखिक आश्रितता एवं स्वतंत्रता,उपसमष्टियाँ, आधर, विमा, रैखिक रूपांतरण, कोटि एवं शून्यता, रैखिक रूपांतरण का आव्यूह । आव्यूहों की बीजावली, पंक्ति एवं स्तंभ समानयनऋ सोपानक रूप,सर्वांगसमता एवं समरूपता, आव्यूह की कोटि, आव्यूह का व्युत्कम, रैखिक समीकरण प्रणाली का हल, अभिलक्षणिक मान एवं अभिलक्षणिक सदिश, अभिलक्षणिक बहुपद, केले-हैमिल्टन प्रमेय, सममित, विषम सममित, हर्मिटी, विषम हर्मिटी, लांबिक एवं ऐकिक आव्यूह एवं उनके अभिलक्षणिक मान ।
2. कलन:
वास्तविक संख्याएँ, वास्तविक चर के फलन, सीमा, सांतत्य,अवकलनीयता, माध्यमान प्रमेय, शेषपफलों के साथ टेलर का प्रमेय, अनिर्धरित रूप, उच्चिष्ठ एवं अल्पिष्ठ, अनंतस्पर्शी, वक्र अनुरेखण, दो या तीन चरों के फलन: सीमा, सांतत्य, आंशिक अवकलज, उच्चिष्ठ एवं अल्पिष्ठ, लाग्रांज की गुणक विधि, जैकोबी । निश्चित समाकलों की रीमान परिभाषा, अनिश्चित समाकल, अनंत ;इन्फिनिट एवं इंप्राॅपरद्ध अवकल, द्विध एवं त्रिध समाकल (केवल मूल्यांकन प्रविधियाँ), क्षेत्र, पृष्ठ एवं आयतन ।
3. विश्लेषिक ज्यामिति:
त्रिविमाओं में कार्तीय एवं ध्रुवीय निर्देशांक, त्रि-चरों में द्वितीय घात समीकरण, विहित रूपों में लघुकरण, सरल रेखाएँ, दो विषमतलीय रेखाओं के बीच की लघुतम दूरी, समतल, गोलक, शंकु, बेलन, परवलपज, दीर्घवृत्तज, एक या दो पृष्ठी अतिपरवलयज एवं उनके गुणधर्म ।
खंड-B
4. साधारण अवकल समीकरण:
अवकल समीकरणों का संरूपण, प्रथम कोटि एवं प्रथम घात का समीकरण, समाकलन गुणक, लंबकोणीय संछेदी, प्रथम घात का नहीं किंतु प्रथम कोटि का समीकरण, क्लेरो का समीकरण, विचित्र हल । नियत गुणांक वाले द्वितीय एवं उच्चतर कोटि के रैखिक समीकरण, पूरक फलन, विशेष समाकल एवं व्यापक हल । चर गुणांक वाले द्वितीय कोटि के रैखिक समीकरण, आयलर-कौशी समीकरण, प्राचल विचरण विधि का प्रयोग कर पूर्ण हल का निर्धारण जब एक हल ज्ञात हो । लाप्सास एवं व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर, एवं उनके गुणधर्म, प्रारंभक फलनों के लाप्लास रूपांतर, नियत गुणांक वाले द्वितीय कोटि रैखिक समीकरणों के लिए प्रारंभिक मान समस्याओं पर अनुप्रयोग ।
5. गतिकी एवं स्थैतिकी:
ट्टजुरेखीय गति, सरल आवर्तगति, समतल में गति, प्रक्षेप्य (प्रोजेक्टाइल), व्यवरोध गति, कार्य एवं ऊर्जा, ऊर्जा का संरक्षण केपलर नियम, केंद्रीय बल के अंतर्गत की कक्षाएं ;कण निकाय का संतुलन, कार्य एवं स्थितिज ऊर्जा घर्षण, साधरण कटनरी, कल्पित कार्य का सिद्धाँत, संतुलन का स्थायित्व, तीन विमाओं में बल संतुलन ।
6. सदिश विश्लेषण:
अदिश और सदिश क्षेत्र, अदिश चर के सदिश क्षेत्र का अवकलन, कार्तीय एवं बेलनाकार निर्देशांकों में प्रवणता, अपसरण एवं कर्ल, उच्चतर कोटि अवकलन, सदिश तत्समक एवं सदिश समीकरण । ज्यामिति अनुप्रयोग: आकाश में वक्र, वक्रता एवं ऐंठन, सेरेट-फेनेट के सूत्र । गैस एवं स्टोक्स प्रमेय, ग्रीन के तत्समक ।